哥德巴赫猜想之通俗解法
承蒙晓寒先生的青睐，与我商榷哥德巴赫猜想。晓寒先生的来信提醒了我，世上的中学生并非都像我一样，会迷上数论。因此，用数学术语等编写出来的东西，并非所有的中学生都能看懂的。为使大多数中学生能看懂我的拙文，必须抛开一切，以最通俗的语言来解释哥氏猜想。故此，本贴所言，将只以能否为中学生所理解，而不以是否符合数学论证之要求。但愿本贴能起到提醒年青的中学生不必再为哥氏猜想而浪费青春的作用，因为哥氏猜想实际上是很简单的一道习题，只是被人为地搞复杂了，不值得为其浪费精力。四则运算是数学中最基础的东西，凡学过算术的人都会，而哥德巴赫猜想用算术即可求解。
任取一充分大的偶数
N，表N为两个自然数之和，有公式N=a+b，即可以有：N=1+(N-1)=2+(N-2)=...=N/2+N/2.
此集合共有个数
N/2。在此N/2个自然数之和中，若按素数或合数的性质来分类，有：两个素数之和p(1,1)，两个合数之和H(1,1)及一个素数与一个合数之和(p,H)等三种可能。用N/2减去后两种可能的个数，剩下的就是两个素数之和p(1,1)的个数。此乃集合论中著名的摩根定律也：A~∩B~=(A∪B)~。例如，设
N=10=1+(9)=2+(8)=3+7=(4+6)=5+5 ，其中，10/2=5, H(1,1)=1, (p,H)=2, 则p(1,1)=5-3=2。上例中，凡合数处用括号笼之，以示与素数的区别。
用此方法计算，会产生一个个数的误差，因为数
1既不是素数，也不是合数，而数1有可能与素数相加，在筛除合数时不能被筛除，故在元素对1+(N-1)上有时会被当作两个奇素数之和对待。将
(A∪B)用集合论的方法剖析为(A∪B)=A+B-A∩B=H-A∩B，则摩根定律就可解释成：p(1,1)=N/2-(H-A∩B)=N/2-H+A∩B。即两个奇素数之和等于N/2减去N之内所有合数的个数，然后加上两个合数之和的个数。如在上述之例中，
N/2=5, H=4, N(1,1)=1, 则p(1,1)=5-4+1=2。用此第二种方法计算
p(1,1)的个数，会产生两个个数的误差。因为N/2有可能是合数，故N/2+N/2实际上是同一个合数相加，用第二种方法计算，会再留下一个个数的误差。如此一个个地去数着作计算，当
N之值很大时，计算将变为不可能了，必须想一个办法使计算在N之值很大时也能进行。幸亏合数的出现是有轨迹可寻，用出现概率来计算，尽管在有限处会造成一定数值的误差，但其可揭示出哥氏猜想的真迹。对于用第二种方法剖析哥氏猜想之实质，由于超出本贴之目的，故不再作深入研究
(有兴趣的网友可去我的个人网页阅览我的拙文：哥德巴赫猜想之解繁琐本，内有详细解释哥氏猜想之解的计算步骤，我的网页地址是：http://huxuzhi.cn99.com)。我们知道，在自然数列中，素数
p的倍数是每隔p之数值而出现一次的，而N=a+b实际上也是根据自然数列的次序而排列，只是在N=a+b中，b之值是从大到小而已。因此，在N=a+b中，若分别观察a和b，其p的倍数也是每隔p之数值而出现一次。于是，在筛除N=a+b中的合数时，也可用出现概率来计算。为较快地进入
p(1,1)的计算，我们用数论中互素的概念来计算，即用第一种方法求(A∪B)的补集。所谓与
p互素，乃指在集合N=a+b中，筛除了素数p的倍数后，所剩下的元素。例如设N为偶数时，与素数2互素，即有系数(1-1/2)。此系数说明，在N=a+b中，有1/2的元素是2的倍数，与2互素须在全域中减去占1/2比例的具有素因数2的元素。具体对
N=a+b中p(1,1)的计算，可利用公式N=np和N=nq+r进行计算。我们知道，公式
N=np是根据唯一分解定理而来，化N=np为N=(n-m)p+mp，即可得到N=a+b中具素因数p的元素对(a+b)，共有个数N/2p个。用N/2减之，有：N/2-N/2p=N/2(1-1/p)
即对于是
N的素因数之素数p，在N=a+b中，与p互素，则有系数(1-1/p)，我们称其为特征值。公式
N=nq+r所指的是剩余类，化N=nq+r为N=(n-m)q+mq+r，可知，在剩余类中，两个q的倍数总是相差r之数而出现在N=a+b中。换言之，在元素对(a+b)中，若a中具有素因数q的合数，则b中必不具有素因数q，反之亦然。因此，在N=a+b中，具有素因数q的元素对，是每隔q之值而出现二次，一个在a中，一个在b中。即可得到具有素因数q的元素对(a+b)，共有个数2N/2q=N/q。用N/2减之，有：N/2-N/q=N/2(1-2/q)
即对于非
N的素因数之素数q，在N=a+b中，与q互素，则有系数(1-2/q)，我们称其为剩余值。由此可知，对于
N=a+b中求p(1,1)的个数，因所取N之不同而须以不同的特征值来计算。特征值和剩余值均具有可积函数的性质，即有f(a*b)=f(a)*f(b)之性质，故有P(1,1)/(n/2)={∏p|N}(1-1/p){∏q⊥N}(1-2/q)之式。由于不大N的合数均有不大于N^1/2的素因数，与埃氏筛法一样，在N=a+b中，筛子只须进行到不大于N^1/2的素数即可。下面，我们将举几个实例来具体作计算。
设
N=30=2*3*5=1+29=2+(28)=3+(27)=(4+26)=5+(25)
=(6+24)=7+23=(8+22)=(9+21)=(10+20)
=11+19=(12+18)=13+17=(14+16)=(15+15)
此例中，小于
30^1/2的素数都是特征值，故素数与素数在一起，合数与合数在一起。有p(1,1)=15(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)=4。设
N=32=2^5=1+31=2+(30)=3+29=(4+28)=5+(27)
=(6+26)=7+(25)=(8+24)=(9)+23=(10+22)
=11+(21)=(12+20)=13+19=(14+18)=(15)+17=(16+16)
此例中，小于
32^1/2的素数只有2是特征值，故只有2的倍数可以在同一元素对相加，而3和5的倍数均不自交。有p(1,1)=16(1-1/2)(1-2/3)(1-2/5)=1.6。设
N=56=(2^3)*7=1+(55)=3+53=5+(51)=7+(49)=(9)+47=
11+(45)=13+43=(15)+41=17+(39)=19+37=
(21+35)=23+(33)=(25)+31=(27)+29
此例中，小于
56^1/2的素数有2和7是特征值(2的倍数没有列出)，故2和7的倍数可自交，而3和5的倍数均不自交。有p(1,1)=28(1-1/2)(1-1/7)(1-2/3)(1-2/5)=2.4。设
N=80=(2^4)*5=1+79=3+(77)=5+(75)=7+73=(9)+71
=11+(69)=13+67=(15+65)=17+(63)=19+61
=(21)+59=23+(57)=(25+55)=(27)+53=29+51
=31+(49)=(33)+47=(35+45)=37+43=(39)+41
此例中，小于
80^1/2的素数有2和5是特征值(2的倍数没有列出)，故2和5的倍数可自交，而3和7的倍数均不自交。有p(1,1)=40(1-1/2)(1-1/5)(1-2/3)(1-2/7)=3.8。设
N=90=2*(3^2)*5=1+89=3+(87)=5+(85)=7+83=(9+81)=11+79
=13+(77)=(15+75)=17+73=19+71=(21+69)=23+67
=(25+65)=(27+63)=29+61=31+59=(33+57)=(35+55)
=37+53=(39+51)=41+(49)=43+47=(45+45)
此例中，小于
90^1/2的素数有2、3、5是特征值(2的倍数没有列出)，故2、3、5的倍数可自交，而7的倍数不自交。有p(1,1)=45(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)(1-2/7)=8.5。系数{∏
p|N}(1-1/p){∏q⊥N}(1-2/q)是根据N→∞时求出，故在有限值时计算会有一定数量的误差。从系数中也可看出，当N为奇数时，两个奇素数之和为零：(1-2/2)=0，即系数中有零因子。以上是对哥德巴赫猜想之解的通俗解释，即只给出算术运算的方法，而没有严格的论证。由于水平有限，难免有讲述不清之处，请各位网友提出宝贵意见，以便我修正不足之处。谢谢。
作者：胡桢